3.27 \(\int \frac{\cot ^7(d+e x)}{(a+b \cot ^2(d+e x)+c \cot ^4(d+e x))^{3/2}} \, dx\)

Optimal. Leaf size=236 \[ -\frac{\left (2 a^2 c-a b (b+3 c)+b^3\right ) \cot ^2(d+e x)+a \left (b^2-a (b+2 c)\right )}{c e (a-b+c) \left (b^2-4 a c\right ) \sqrt{a+b \cot ^2(d+e x)+c \cot ^4(d+e x)}}-\frac{\tanh ^{-1}\left (\frac{b+2 c \cot ^2(d+e x)}{2 \sqrt{c} \sqrt{a+b \cot ^2(d+e x)+c \cot ^4(d+e x)}}\right )}{2 c^{3/2} e}-\frac{\tanh ^{-1}\left (\frac{2 a+(b-2 c) \cot ^2(d+e x)-b}{2 \sqrt{a-b+c} \sqrt{a+b \cot ^2(d+e x)+c \cot ^4(d+e x)}}\right )}{2 e (a-b+c)^{3/2}} \]

[Out]

-ArcTanh[(2*a - b + (b - 2*c)*Cot[d + e*x]^2)/(2*Sqrt[a - b + c]*Sqrt[a + b*Cot[d + e*x]^2 + c*Cot[d + e*x]^4]
)]/(2*(a - b + c)^(3/2)*e) - ArcTanh[(b + 2*c*Cot[d + e*x]^2)/(2*Sqrt[c]*Sqrt[a + b*Cot[d + e*x]^2 + c*Cot[d +
e*x]^4])]/(2*c^(3/2)*e) - (a*(b^2 - a*(b + 2*c)) + (b^3 + 2*a^2*c - a*b*(b + 3*c))*Cot[d + e*x]^2)/(c*(a - b
+ c)*(b^2 - 4*a*c)*e*Sqrt[a + b*Cot[d + e*x]^2 + c*Cot[d + e*x]^4])

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.558781, antiderivative size = 236, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 8, number of rules used = 7, integrand size = 35, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.2, Rules used = {3701, 1251, 1646, 843, 621, 206, 724} \[ -\frac{\left (2 a^2 c-a b (b+3 c)+b^3\right ) \cot ^2(d+e x)+a \left (b^2-a (b+2 c)\right )}{c e (a-b+c) \left (b^2-4 a c\right ) \sqrt{a+b \cot ^2(d+e x)+c \cot ^4(d+e x)}}-\frac{\tanh ^{-1}\left (\frac{b+2 c \cot ^2(d+e x)}{2 \sqrt{c} \sqrt{a+b \cot ^2(d+e x)+c \cot ^4(d+e x)}}\right )}{2 c^{3/2} e}-\frac{\tanh ^{-1}\left (\frac{2 a+(b-2 c) \cot ^2(d+e x)-b}{2 \sqrt{a-b+c} \sqrt{a+b \cot ^2(d+e x)+c \cot ^4(d+e x)}}\right )}{2 e (a-b+c)^{3/2}} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[Cot[d + e*x]^7/(a + b*Cot[d + e*x]^2 + c*Cot[d + e*x]^4)^(3/2),x]

[Out]

-ArcTanh[(2*a - b + (b - 2*c)*Cot[d + e*x]^2)/(2*Sqrt[a - b + c]*Sqrt[a + b*Cot[d + e*x]^2 + c*Cot[d + e*x]^4]
)]/(2*(a - b + c)^(3/2)*e) - ArcTanh[(b + 2*c*Cot[d + e*x]^2)/(2*Sqrt[c]*Sqrt[a + b*Cot[d + e*x]^2 + c*Cot[d +
e*x]^4])]/(2*c^(3/2)*e) - (a*(b^2 - a*(b + 2*c)) + (b^3 + 2*a^2*c - a*b*(b + 3*c))*Cot[d + e*x]^2)/(c*(a - b
+ c)*(b^2 - 4*a*c)*e*Sqrt[a + b*Cot[d + e*x]^2 + c*Cot[d + e*x]^4])

Rule 3701

Int[cot[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(m_.)*((a_.) + (b_.)*(cot[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(f_.))^(n_.) + (c_.)*(cot[(d_.) + (e
_.)*(x_)]*(f_.))^(n2_.))^(p_), x_Symbol] :> -Dist[f/e, Subst[Int[((x/f)^m*(a + b*x^n + c*x^(2*n))^p)/(f^2 + x^
2), x], x, f*Cot[d + e*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n, p}, x] && EqQ[n2, 2*n] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0]

Rule 1251

Int[(x_)^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4)^(p_.), x_Symbol] :> Dist[1/2,
Subst[Int[x^((m - 1)/2)*(d + e*x)^q*(a + b*x + c*x^2)^p, x], x, x^2], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, p, q}, x] &&
IntegerQ[(m - 1)/2]

Rule 1646

Int[(Pq_)*((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_.)*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> With[{Q = Polynomi
alQuotient[(d + e*x)^m*Pq, a + b*x + c*x^2, x], f = Coeff[PolynomialRemainder[(d + e*x)^m*Pq, a + b*x + c*x^2,
x], x, 0], g = Coeff[PolynomialRemainder[(d + e*x)^m*Pq, a + b*x + c*x^2, x], x, 1]}, Simp[((b*f - 2*a*g + (2
*c*f - b*g)*x)*(a + b*x + c*x^2)^(p + 1))/((p + 1)*(b^2 - 4*a*c)), x] + Dist[1/((p + 1)*(b^2 - 4*a*c)), Int[(d
+ e*x)^m*(a + b*x + c*x^2)^(p + 1)*ExpandToSum[((p + 1)*(b^2 - 4*a*c)*Q)/(d + e*x)^m - ((2*p + 3)*(2*c*f - b*
g))/(d + e*x)^m, x], x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && PolyQ[Pq, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && NeQ[c*d^2
- b*d*e + a*e^2, 0] && LtQ[p, -1] && ILtQ[m, 0]

Rule 843

Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_)*((f_.) + (g_.)*(x_))*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Dis
t[g/e, Int[(d + e*x)^(m + 1)*(a + b*x + c*x^2)^p, x], x] + Dist[(e*f - d*g)/e, Int[(d + e*x)^m*(a + b*x + c*x^
2)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, m, p}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && NeQ[c*d^2 - b*d*e + a*e^2, 0]
&&  !IGtQ[m, 0]

Rule 621

Int[1/Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Dist[2, Subst[Int[1/(4*c - x^2), x], x, (b + 2*c*x)
/Sqrt[a + b*x + c*x^2]], x] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0]

Rule 206

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[(1*ArcTanh[(Rt[-b, 2]*x)/Rt[a, 2]])/(Rt[a, 2]*Rt[-b, 2]), x]
/; FreeQ[{a, b}, x] && NegQ[a/b] && (GtQ[a, 0] || LtQ[b, 0])

Rule 724

Int[1/(((d_.) + (e_.)*(x_))*Sqrt[(a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2]), x_Symbol] :> Dist[-2, Subst[Int[1/(4*c*d
^2 - 4*b*d*e + 4*a*e^2 - x^2), x], x, (2*a*e - b*d - (2*c*d - b*e)*x)/Sqrt[a + b*x + c*x^2]], x] /; FreeQ[{a,
b, c, d, e}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && NeQ[2*c*d - b*e, 0]

Rubi steps

\begin{align*} \int \frac{\cot ^7(d+e x)}{\left (a+b \cot ^2(d+e x)+c \cot ^4(d+e x)\right )^{3/2}} \, dx &=-\frac{\operatorname{Subst}\left (\int \frac{x^7}{\left (1+x^2\right ) \left (a+b x^2+c x^4\right )^{3/2}} \, dx,x,\cot (d+e x)\right )}{e}\\ &=-\frac{\operatorname{Subst}\left (\int \frac{x^3}{(1+x) \left (a+b x+c x^2\right )^{3/2}} \, dx,x,\cot ^2(d+e x)\right )}{2 e}\\ &=-\frac{a \left (b^2-a (b+2 c)\right )+\left (b^3+2 a^2 c-a b (b+3 c)\right ) \cot ^2(d+e x)}{c (a-b+c) \left (b^2-4 a c\right ) e \sqrt{a+b \cot ^2(d+e x)+c \cot ^4(d+e x)}}+\frac{\operatorname{Subst}\left (\int \frac{-\frac{(a-b) \left (b^2-4 a c\right )}{2 c (a-b+c)}-\frac{\left (b^2-4 a c\right ) x}{2 c}}{(1+x) \sqrt{a+b x+c x^2}} \, dx,x,\cot ^2(d+e x)\right )}{\left (b^2-4 a c\right ) e}\\ &=-\frac{a \left (b^2-a (b+2 c)\right )+\left (b^3+2 a^2 c-a b (b+3 c)\right ) \cot ^2(d+e x)}{c (a-b+c) \left (b^2-4 a c\right ) e \sqrt{a+b \cot ^2(d+e x)+c \cot ^4(d+e x)}}-\frac{\operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{\sqrt{a+b x+c x^2}} \, dx,x,\cot ^2(d+e x)\right )}{2 c e}+\frac{\operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{(1+x) \sqrt{a+b x+c x^2}} \, dx,x,\cot ^2(d+e x)\right )}{2 (a-b+c) e}\\ &=-\frac{a \left (b^2-a (b+2 c)\right )+\left (b^3+2 a^2 c-a b (b+3 c)\right ) \cot ^2(d+e x)}{c (a-b+c) \left (b^2-4 a c\right ) e \sqrt{a+b \cot ^2(d+e x)+c \cot ^4(d+e x)}}-\frac{\operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{4 c-x^2} \, dx,x,\frac{b+2 c \cot ^2(d+e x)}{\sqrt{a+b \cot ^2(d+e x)+c \cot ^4(d+e x)}}\right )}{c e}-\frac{\operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{4 a-4 b+4 c-x^2} \, dx,x,\frac{2 a-b-(-b+2 c) \cot ^2(d+e x)}{\sqrt{a+b \cot ^2(d+e x)+c \cot ^4(d+e x)}}\right )}{(a-b+c) e}\\ &=-\frac{\tanh ^{-1}\left (\frac{2 a-b+(b-2 c) \cot ^2(d+e x)}{2 \sqrt{a-b+c} \sqrt{a+b \cot ^2(d+e x)+c \cot ^4(d+e x)}}\right )}{2 (a-b+c)^{3/2} e}-\frac{\tanh ^{-1}\left (\frac{b+2 c \cot ^2(d+e x)}{2 \sqrt{c} \sqrt{a+b \cot ^2(d+e x)+c \cot ^4(d+e x)}}\right )}{2 c^{3/2} e}-\frac{a \left (b^2-a (b+2 c)\right )+\left (b^3+2 a^2 c-a b (b+3 c)\right ) \cot ^2(d+e x)}{c (a-b+c) \left (b^2-4 a c\right ) e \sqrt{a+b \cot ^2(d+e x)+c \cot ^4(d+e x)}}\\ \end{align*}

Mathematica [C]  time = 35.5583, size = 243520, normalized size = 1031.86 \[ \text{Result too large to show} \]

Warning: Unable to verify antiderivative.

[In]

Integrate[Cot[d + e*x]^7/(a + b*Cot[d + e*x]^2 + c*Cot[d + e*x]^4)^(3/2),x]

[Out]

Result too large to show

________________________________________________________________________________________

Maple [B]  time = 0.106, size = 828, normalized size = 3.5 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(cot(e*x+d)^7/(a+b*cot(e*x+d)^2+c*cot(e*x+d)^4)^(3/2),x)

[Out]

1/2/e*cot(e*x+d)^2/c/(a+b*cot(e*x+d)^2+c*cot(e*x+d)^4)^(1/2)-1/4/e*b/c^2/(a+b*cot(e*x+d)^2+c*cot(e*x+d)^4)^(1/
2)-1/2/e*b^2/c/(4*a*c-b^2)/(a+b*cot(e*x+d)^2+c*cot(e*x+d)^4)^(1/2)*cot(e*x+d)^2-1/4/e*b^3/c^2/(4*a*c-b^2)/(a+b
*cot(e*x+d)^2+c*cot(e*x+d)^4)^(1/2)-1/2/e/c^(3/2)*ln((1/2*b+c*cot(e*x+d)^2)/c^(1/2)+(a+b*cot(e*x+d)^2+c*cot(e*
x+d)^4)^(1/2))-1/e/(a+b*cot(e*x+d)^2+c*cot(e*x+d)^4)^(1/2)/(4*a*c-b^2)*b*cot(e*x+d)^2-2/e/(a+b*cot(e*x+d)^2+c*
cot(e*x+d)^4)^(1/2)/(4*a*c-b^2)*a-2/e/(a+b*cot(e*x+d)^2+c*cot(e*x+d)^4)^(1/2)/(4*a*c-b^2)*c*cot(e*x+d)^2-1/e/(
a+b*cot(e*x+d)^2+c*cot(e*x+d)^4)^(1/2)/(4*a*c-b^2)*b+2/e*c/((-4*a*c+b^2)^(1/2)+b-2*c)/(-4*a*c+b^2)/(cot(e*x+d)
^2+1/2/c*(-4*a*c+b^2)^(1/2)+1/2*b/c)*((cot(e*x+d)^2+1/2*((-4*a*c+b^2)^(1/2)+b)/c)^2*c-(-4*a*c+b^2)^(1/2)*(cot(
e*x+d)^2+1/2*((-4*a*c+b^2)^(1/2)+b)/c))^(1/2)+2/e*c/((-4*a*c+b^2)^(1/2)-b+2*c)/((-4*a*c+b^2)^(1/2)+b-2*c)/(a-b
+c)^(1/2)*ln((2*a-2*b+2*c+(b-2*c)*(cot(e*x+d)^2+1)+2*(a-b+c)^(1/2)*((cot(e*x+d)^2+1)^2*c+(b-2*c)*(cot(e*x+d)^2
+1)+a-b+c)^(1/2))/(cot(e*x+d)^2+1))-2/e*c/((-4*a*c+b^2)^(1/2)-b+2*c)/(-4*a*c+b^2)/(cot(e*x+d)^2-1/2/c*(-4*a*c+
b^2)^(1/2)+1/2*b/c)*((cot(e*x+d)^2-1/2*(-b+(-4*a*c+b^2)^(1/2))/c)^2*c+(-4*a*c+b^2)^(1/2)*(cot(e*x+d)^2-1/2*(-b
+(-4*a*c+b^2)^(1/2))/c))^(1/2)

________________________________________________________________________________________

Maxima [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Timed out} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(cot(e*x+d)^7/(a+b*cot(e*x+d)^2+c*cot(e*x+d)^4)^(3/2),x, algorithm="maxima")

[Out]

Timed out

________________________________________________________________________________________

Fricas [B]  time = 27.2806, size = 13087, normalized size = 55.45 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(cot(e*x+d)^7/(a+b*cot(e*x+d)^2+c*cot(e*x+d)^4)^(3/2),x, algorithm="fricas")

[Out]

[1/4*((4*a*c^4 + (4*a^2 + 4*a*b - b^2)*c^3 - (a*b^2 + b^3)*c^2 + (4*a*c^4 + (4*a^2 - 4*a*b - b^2)*c^3 - (a*b^2
- b^3)*c^2)*cos(2*e*x + 2*d)^2 + 2*(a*b^2*c^2 + 4*a*c^4 - (4*a^2 + b^2)*c^3)*cos(2*e*x + 2*d))*sqrt(a - b + c
)*log(2*(a^2 - 2*a*b + b^2 + 2*(a - b)*c + c^2)*cos(2*e*x + 2*d)^2 + 2*a^2 - b^2 + 2*c^2 - 2*((a - b + c)*cos(
2*e*x + 2*d)^2 - (2*a - b)*cos(2*e*x + 2*d) + a - c)*sqrt(a - b + c)*sqrt(((a - b + c)*cos(2*e*x + 2*d)^2 - 2*
(a - c)*cos(2*e*x + 2*d) + a + b + c)/(cos(2*e*x + 2*d)^2 - 2*cos(2*e*x + 2*d) + 1)) - 4*(a^2 - a*b + b*c - c^
2)*cos(2*e*x + 2*d)) - (a^3*b^2 - a^2*b^3 - a*b^4 + b^5 - 4*a*c^4 - (12*a^2 - 4*a*b - b^2)*c^3 - (12*a^3 - 8*a
^2*b - 7*a*b^2 + b^3)*c^2 + (a^3*b^2 - 3*a^2*b^3 + 3*a*b^4 - b^5 - 4*a*c^4 - (12*a^2 - 12*a*b - b^2)*c^3 - 3*(
4*a^3 - 8*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*c^2 - (4*a^4 - 12*a^3*b + 9*a^2*b^2 + 2*a*b^3 - 3*b^4)*c)*cos(2*e*x + 2*d)^2
- (4*a^4 - 4*a^3*b - 7*a^2*b^2 + 6*a*b^3 + b^4)*c - 2*(a^3*b^2 - 2*a^2*b^3 + a*b^4 + 4*a*c^4 + (4*a^2 - 8*a*b
- b^2)*c^3 - (4*a^3 - 3*a*b^2 - 2*b^3)*c^2 - (4*a^4 - 8*a^3*b + 3*a^2*b^2 + b^4)*c)*cos(2*e*x + 2*d))*sqrt(c)*
log(((b^2 + 4*(a - 2*b)*c + 8*c^2)*cos(2*e*x + 2*d)^2 + b^2 + 4*(a + 2*b)*c + 8*c^2 - 4*((b - 2*c)*cos(2*e*x +
2*d)^2 - 2*b*cos(2*e*x + 2*d) + b + 2*c)*sqrt(c)*sqrt(((a - b + c)*cos(2*e*x + 2*d)^2 - 2*(a - c)*cos(2*e*x +
2*d) + a + b + c)/(cos(2*e*x + 2*d)^2 - 2*cos(2*e*x + 2*d) + 1)) - 2*(b^2 + 4*a*c - 8*c^2)*cos(2*e*x + 2*d))/
(cos(2*e*x + 2*d)^2 - 2*cos(2*e*x + 2*d) + 1)) - 4*(3*a*b*c^3 + (4*a^2*b - 3*a*b^2 - b^3)*c^2 + ((4*a^2 - 3*a*
b)*c^3 + (4*a^3 - 6*a^2*b + a*b^2 + b^3)*c^2 + (a^3*b - 3*a^2*b^2 + 3*a*b^3 - b^4)*c)*cos(2*e*x + 2*d)^2 + (a^
3*b - a^2*b^2 - a*b^3 + b^4)*c - 2*(2*a^2*c^3 + (2*a^3 - a^2*b - a*b^2)*c^2 + (a^3*b - 2*a^2*b^2 + a*b^3)*c)*c
os(2*e*x + 2*d))*sqrt(((a - b + c)*cos(2*e*x + 2*d)^2 - 2*(a - c)*cos(2*e*x + 2*d) + a + b + c)/(cos(2*e*x + 2
*d)^2 - 2*cos(2*e*x + 2*d) + 1)))/((4*a*c^6 + (12*a^2 - 12*a*b - b^2)*c^5 + 3*(4*a^3 - 8*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3
)*c^4 + (4*a^4 - 12*a^3*b + 9*a^2*b^2 + 2*a*b^3 - 3*b^4)*c^3 - (a^3*b^2 - 3*a^2*b^3 + 3*a*b^4 - b^5)*c^2)*e*co
s(2*e*x + 2*d)^2 + 2*(4*a*c^6 + (4*a^2 - 8*a*b - b^2)*c^5 - (4*a^3 - 3*a*b^2 - 2*b^3)*c^4 - (4*a^4 - 8*a^3*b +
3*a^2*b^2 + b^4)*c^3 + (a^3*b^2 - 2*a^2*b^3 + a*b^4)*c^2)*e*cos(2*e*x + 2*d) + (4*a*c^6 + (12*a^2 - 4*a*b - b
^2)*c^5 + (12*a^3 - 8*a^2*b - 7*a*b^2 + b^3)*c^4 + (4*a^4 - 4*a^3*b - 7*a^2*b^2 + 6*a*b^3 + b^4)*c^3 - (a^3*b^
2 - a^2*b^3 - a*b^4 + b^5)*c^2)*e), 1/4*(2*(a^3*b^2 - a^2*b^3 - a*b^4 + b^5 - 4*a*c^4 - (12*a^2 - 4*a*b - b^2)
*c^3 - (12*a^3 - 8*a^2*b - 7*a*b^2 + b^3)*c^2 + (a^3*b^2 - 3*a^2*b^3 + 3*a*b^4 - b^5 - 4*a*c^4 - (12*a^2 - 12*
a*b - b^2)*c^3 - 3*(4*a^3 - 8*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*c^2 - (4*a^4 - 12*a^3*b + 9*a^2*b^2 + 2*a*b^3 - 3*b^4)*c)
*cos(2*e*x + 2*d)^2 - (4*a^4 - 4*a^3*b - 7*a^2*b^2 + 6*a*b^3 + b^4)*c - 2*(a^3*b^2 - 2*a^2*b^3 + a*b^4 + 4*a*c
^4 + (4*a^2 - 8*a*b - b^2)*c^3 - (4*a^3 - 3*a*b^2 - 2*b^3)*c^2 - (4*a^4 - 8*a^3*b + 3*a^2*b^2 + b^4)*c)*cos(2*
e*x + 2*d))*sqrt(-c)*arctan(-1/2*((b - 2*c)*cos(2*e*x + 2*d)^2 - 2*b*cos(2*e*x + 2*d) + b + 2*c)*sqrt(-c)*sqrt
(((a - b + c)*cos(2*e*x + 2*d)^2 - 2*(a - c)*cos(2*e*x + 2*d) + a + b + c)/(cos(2*e*x + 2*d)^2 - 2*cos(2*e*x +
2*d) + 1))/(((a - b)*c + c^2)*cos(2*e*x + 2*d)^2 + (a + b)*c + c^2 - 2*(a*c - c^2)*cos(2*e*x + 2*d))) + (4*a*
c^4 + (4*a^2 + 4*a*b - b^2)*c^3 - (a*b^2 + b^3)*c^2 + (4*a*c^4 + (4*a^2 - 4*a*b - b^2)*c^3 - (a*b^2 - b^3)*c^2
)*cos(2*e*x + 2*d)^2 + 2*(a*b^2*c^2 + 4*a*c^4 - (4*a^2 + b^2)*c^3)*cos(2*e*x + 2*d))*sqrt(a - b + c)*log(2*(a^
2 - 2*a*b + b^2 + 2*(a - b)*c + c^2)*cos(2*e*x + 2*d)^2 + 2*a^2 - b^2 + 2*c^2 - 2*((a - b + c)*cos(2*e*x + 2*d
)^2 - (2*a - b)*cos(2*e*x + 2*d) + a - c)*sqrt(a - b + c)*sqrt(((a - b + c)*cos(2*e*x + 2*d)^2 - 2*(a - c)*cos
(2*e*x + 2*d) + a + b + c)/(cos(2*e*x + 2*d)^2 - 2*cos(2*e*x + 2*d) + 1)) - 4*(a^2 - a*b + b*c - c^2)*cos(2*e*
x + 2*d)) - 4*(3*a*b*c^3 + (4*a^2*b - 3*a*b^2 - b^3)*c^2 + ((4*a^2 - 3*a*b)*c^3 + (4*a^3 - 6*a^2*b + a*b^2 + b
^3)*c^2 + (a^3*b - 3*a^2*b^2 + 3*a*b^3 - b^4)*c)*cos(2*e*x + 2*d)^2 + (a^3*b - a^2*b^2 - a*b^3 + b^4)*c - 2*(2
*a^2*c^3 + (2*a^3 - a^2*b - a*b^2)*c^2 + (a^3*b - 2*a^2*b^2 + a*b^3)*c)*cos(2*e*x + 2*d))*sqrt(((a - b + c)*co
s(2*e*x + 2*d)^2 - 2*(a - c)*cos(2*e*x + 2*d) + a + b + c)/(cos(2*e*x + 2*d)^2 - 2*cos(2*e*x + 2*d) + 1)))/((4
*a*c^6 + (12*a^2 - 12*a*b - b^2)*c^5 + 3*(4*a^3 - 8*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*c^4 + (4*a^4 - 12*a^3*b + 9*a^2*b^2
+ 2*a*b^3 - 3*b^4)*c^3 - (a^3*b^2 - 3*a^2*b^3 + 3*a*b^4 - b^5)*c^2)*e*cos(2*e*x + 2*d)^2 + 2*(4*a*c^6 + (4*a^
2 - 8*a*b - b^2)*c^5 - (4*a^3 - 3*a*b^2 - 2*b^3)*c^4 - (4*a^4 - 8*a^3*b + 3*a^2*b^2 + b^4)*c^3 + (a^3*b^2 - 2*
a^2*b^3 + a*b^4)*c^2)*e*cos(2*e*x + 2*d) + (4*a*c^6 + (12*a^2 - 4*a*b - b^2)*c^5 + (12*a^3 - 8*a^2*b - 7*a*b^2
+ b^3)*c^4 + (4*a^4 - 4*a^3*b - 7*a^2*b^2 + 6*a*b^3 + b^4)*c^3 - (a^3*b^2 - a^2*b^3 - a*b^4 + b^5)*c^2)*e), 1
/4*(2*(4*a*c^4 + (4*a^2 + 4*a*b - b^2)*c^3 - (a*b^2 + b^3)*c^2 + (4*a*c^4 + (4*a^2 - 4*a*b - b^2)*c^3 - (a*b^2
- b^3)*c^2)*cos(2*e*x + 2*d)^2 + 2*(a*b^2*c^2 + 4*a*c^4 - (4*a^2 + b^2)*c^3)*cos(2*e*x + 2*d))*sqrt(-a + b -
c)*arctan(((a - b + c)*cos(2*e*x + 2*d)^2 - (2*a - b)*cos(2*e*x + 2*d) + a - c)*sqrt(-a + b - c)*sqrt(((a - b
+ c)*cos(2*e*x + 2*d)^2 - 2*(a - c)*cos(2*e*x + 2*d) + a + b + c)/(cos(2*e*x + 2*d)^2 - 2*cos(2*e*x + 2*d) + 1
))/((a^2 - 2*a*b + b^2 + 2*(a - b)*c + c^2)*cos(2*e*x + 2*d)^2 + a^2 - b^2 + 2*a*c + c^2 - 2*(a^2 - a*b + b*c
- c^2)*cos(2*e*x + 2*d))) - (a^3*b^2 - a^2*b^3 - a*b^4 + b^5 - 4*a*c^4 - (12*a^2 - 4*a*b - b^2)*c^3 - (12*a^3
- 8*a^2*b - 7*a*b^2 + b^3)*c^2 + (a^3*b^2 - 3*a^2*b^3 + 3*a*b^4 - b^5 - 4*a*c^4 - (12*a^2 - 12*a*b - b^2)*c^3
- 3*(4*a^3 - 8*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*c^2 - (4*a^4 - 12*a^3*b + 9*a^2*b^2 + 2*a*b^3 - 3*b^4)*c)*cos(2*e*x + 2*
d)^2 - (4*a^4 - 4*a^3*b - 7*a^2*b^2 + 6*a*b^3 + b^4)*c - 2*(a^3*b^2 - 2*a^2*b^3 + a*b^4 + 4*a*c^4 + (4*a^2 - 8
*a*b - b^2)*c^3 - (4*a^3 - 3*a*b^2 - 2*b^3)*c^2 - (4*a^4 - 8*a^3*b + 3*a^2*b^2 + b^4)*c)*cos(2*e*x + 2*d))*sqr
t(c)*log(((b^2 + 4*(a - 2*b)*c + 8*c^2)*cos(2*e*x + 2*d)^2 + b^2 + 4*(a + 2*b)*c + 8*c^2 - 4*((b - 2*c)*cos(2*
e*x + 2*d)^2 - 2*b*cos(2*e*x + 2*d) + b + 2*c)*sqrt(c)*sqrt(((a - b + c)*cos(2*e*x + 2*d)^2 - 2*(a - c)*cos(2*
e*x + 2*d) + a + b + c)/(cos(2*e*x + 2*d)^2 - 2*cos(2*e*x + 2*d) + 1)) - 2*(b^2 + 4*a*c - 8*c^2)*cos(2*e*x + 2
*d))/(cos(2*e*x + 2*d)^2 - 2*cos(2*e*x + 2*d) + 1)) - 4*(3*a*b*c^3 + (4*a^2*b - 3*a*b^2 - b^3)*c^2 + ((4*a^2 -
3*a*b)*c^3 + (4*a^3 - 6*a^2*b + a*b^2 + b^3)*c^2 + (a^3*b - 3*a^2*b^2 + 3*a*b^3 - b^4)*c)*cos(2*e*x + 2*d)^2
+ (a^3*b - a^2*b^2 - a*b^3 + b^4)*c - 2*(2*a^2*c^3 + (2*a^3 - a^2*b - a*b^2)*c^2 + (a^3*b - 2*a^2*b^2 + a*b^3)
*c)*cos(2*e*x + 2*d))*sqrt(((a - b + c)*cos(2*e*x + 2*d)^2 - 2*(a - c)*cos(2*e*x + 2*d) + a + b + c)/(cos(2*e*
x + 2*d)^2 - 2*cos(2*e*x + 2*d) + 1)))/((4*a*c^6 + (12*a^2 - 12*a*b - b^2)*c^5 + 3*(4*a^3 - 8*a^2*b + 3*a*b^2
+ b^3)*c^4 + (4*a^4 - 12*a^3*b + 9*a^2*b^2 + 2*a*b^3 - 3*b^4)*c^3 - (a^3*b^2 - 3*a^2*b^3 + 3*a*b^4 - b^5)*c^2)
*e*cos(2*e*x + 2*d)^2 + 2*(4*a*c^6 + (4*a^2 - 8*a*b - b^2)*c^5 - (4*a^3 - 3*a*b^2 - 2*b^3)*c^4 - (4*a^4 - 8*a^
3*b + 3*a^2*b^2 + b^4)*c^3 + (a^3*b^2 - 2*a^2*b^3 + a*b^4)*c^2)*e*cos(2*e*x + 2*d) + (4*a*c^6 + (12*a^2 - 4*a*
b - b^2)*c^5 + (12*a^3 - 8*a^2*b - 7*a*b^2 + b^3)*c^4 + (4*a^4 - 4*a^3*b - 7*a^2*b^2 + 6*a*b^3 + b^4)*c^3 - (a
^3*b^2 - a^2*b^3 - a*b^4 + b^5)*c^2)*e), 1/2*((4*a*c^4 + (4*a^2 + 4*a*b - b^2)*c^3 - (a*b^2 + b^3)*c^2 + (4*a*
c^4 + (4*a^2 - 4*a*b - b^2)*c^3 - (a*b^2 - b^3)*c^2)*cos(2*e*x + 2*d)^2 + 2*(a*b^2*c^2 + 4*a*c^4 - (4*a^2 + b^
2)*c^3)*cos(2*e*x + 2*d))*sqrt(-a + b - c)*arctan(((a - b + c)*cos(2*e*x + 2*d)^2 - (2*a - b)*cos(2*e*x + 2*d)
+ a - c)*sqrt(-a + b - c)*sqrt(((a - b + c)*cos(2*e*x + 2*d)^2 - 2*(a - c)*cos(2*e*x + 2*d) + a + b + c)/(cos
(2*e*x + 2*d)^2 - 2*cos(2*e*x + 2*d) + 1))/((a^2 - 2*a*b + b^2 + 2*(a - b)*c + c^2)*cos(2*e*x + 2*d)^2 + a^2 -
b^2 + 2*a*c + c^2 - 2*(a^2 - a*b + b*c - c^2)*cos(2*e*x + 2*d))) + (a^3*b^2 - a^2*b^3 - a*b^4 + b^5 - 4*a*c^4
- (12*a^2 - 4*a*b - b^2)*c^3 - (12*a^3 - 8*a^2*b - 7*a*b^2 + b^3)*c^2 + (a^3*b^2 - 3*a^2*b^3 + 3*a*b^4 - b^5
- 4*a*c^4 - (12*a^2 - 12*a*b - b^2)*c^3 - 3*(4*a^3 - 8*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*c^2 - (4*a^4 - 12*a^3*b + 9*a^2*
b^2 + 2*a*b^3 - 3*b^4)*c)*cos(2*e*x + 2*d)^2 - (4*a^4 - 4*a^3*b - 7*a^2*b^2 + 6*a*b^3 + b^4)*c - 2*(a^3*b^2 -
2*a^2*b^3 + a*b^4 + 4*a*c^4 + (4*a^2 - 8*a*b - b^2)*c^3 - (4*a^3 - 3*a*b^2 - 2*b^3)*c^2 - (4*a^4 - 8*a^3*b + 3
*a^2*b^2 + b^4)*c)*cos(2*e*x + 2*d))*sqrt(-c)*arctan(-1/2*((b - 2*c)*cos(2*e*x + 2*d)^2 - 2*b*cos(2*e*x + 2*d)
+ b + 2*c)*sqrt(-c)*sqrt(((a - b + c)*cos(2*e*x + 2*d)^2 - 2*(a - c)*cos(2*e*x + 2*d) + a + b + c)/(cos(2*e*x
+ 2*d)^2 - 2*cos(2*e*x + 2*d) + 1))/(((a - b)*c + c^2)*cos(2*e*x + 2*d)^2 + (a + b)*c + c^2 - 2*(a*c - c^2)*c
os(2*e*x + 2*d))) - 2*(3*a*b*c^3 + (4*a^2*b - 3*a*b^2 - b^3)*c^2 + ((4*a^2 - 3*a*b)*c^3 + (4*a^3 - 6*a^2*b + a
*b^2 + b^3)*c^2 + (a^3*b - 3*a^2*b^2 + 3*a*b^3 - b^4)*c)*cos(2*e*x + 2*d)^2 + (a^3*b - a^2*b^2 - a*b^3 + b^4)*
c - 2*(2*a^2*c^3 + (2*a^3 - a^2*b - a*b^2)*c^2 + (a^3*b - 2*a^2*b^2 + a*b^3)*c)*cos(2*e*x + 2*d))*sqrt(((a - b
+ c)*cos(2*e*x + 2*d)^2 - 2*(a - c)*cos(2*e*x + 2*d) + a + b + c)/(cos(2*e*x + 2*d)^2 - 2*cos(2*e*x + 2*d) +
1)))/((4*a*c^6 + (12*a^2 - 12*a*b - b^2)*c^5 + 3*(4*a^3 - 8*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*c^4 + (4*a^4 - 12*a^3*b + 9
*a^2*b^2 + 2*a*b^3 - 3*b^4)*c^3 - (a^3*b^2 - 3*a^2*b^3 + 3*a*b^4 - b^5)*c^2)*e*cos(2*e*x + 2*d)^2 + 2*(4*a*c^6
+ (4*a^2 - 8*a*b - b^2)*c^5 - (4*a^3 - 3*a*b^2 - 2*b^3)*c^4 - (4*a^4 - 8*a^3*b + 3*a^2*b^2 + b^4)*c^3 + (a^3*
b^2 - 2*a^2*b^3 + a*b^4)*c^2)*e*cos(2*e*x + 2*d) + (4*a*c^6 + (12*a^2 - 4*a*b - b^2)*c^5 + (12*a^3 - 8*a^2*b -
7*a*b^2 + b^3)*c^4 + (4*a^4 - 4*a^3*b - 7*a^2*b^2 + 6*a*b^3 + b^4)*c^3 - (a^3*b^2 - a^2*b^3 - a*b^4 + b^5)*c^
2)*e)]

________________________________________________________________________________________

Sympy [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Timed out} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(cot(e*x+d)**7/(a+b*cot(e*x+d)**2+c*cot(e*x+d)**4)**(3/2),x)

[Out]

Timed out

________________________________________________________________________________________

Giac [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Timed out} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(cot(e*x+d)^7/(a+b*cot(e*x+d)^2+c*cot(e*x+d)^4)^(3/2),x, algorithm="giac")

[Out]

Timed out